找出所有实数域上的可微函数 $f$,使得

$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x + f(y)) = f(y + f(x))$$

对于  $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) \neq 0$ 的情况,必然有

$$x + f(y) = y + f(x)$$

从而解得 $f(x) = x + c$ 。

对于 $\exists a \in \mathbb{R}, f'(a) = 0$ 的情况,假设 $\exists b \in \mathbb{R}, f'(b) \neq 0$ 。

原式分别对 $x$ ,$y$ 求导,得到

$$f'(x + f(y)) = f'(y + f(x))f'(x)$$

$$f'(x + f(y))f'(y) = f'(y + f(x))$$

将后式代入前式,整理得

$$f'(x + f(y))(f'(x)f'(y) - 1) = 0$$

令 $x = a, y = b - f(a)$ ,由于 $f'(x) = f'(a) = 0$ ,得到

$$f'(x + f(y)) = 0$$

因而可得

$$f'(y + f(x)) = f'(x + f(y))f'(y) = 0$$

$$f'(y + f(x)) = f'(b - f(a) + f(a)) = f'(b) \neq 0$$

故矛盾。

因此,若 $\exists a \in \mathbb{R}, f'(a) = 0$ ,则 $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 0$,解得 $f(x) = c$ 。

综上,$f(x) = c$ 或 $f(x) = x + c$ 。

Special thanks to ZHU Yifan(朱奕帆)!